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Questions sur un polinôme

Auteur Questions sur un polinôme
henri-pierre
Membre



Messages: 89
Calculatrice : Pas de calculatrice
Message posté: 08-02-2012 à 17:21     Editer/Supprimer les messages postés   Renvoyer une note
1) C'est normal que la représentation graphique de x(cube) - 2 x (carré) + 1 soit en forme de serpent ?

2) Et est ce que son sommet par le calcul est : abscisse : (- b / 2a) = 1 ; ordonnée : (- b / 2a au cube) + (- b / 2a au carré) + 1 = 0 ?

3) La courbe du polynôme possède-t-elle un seul sommet ou plusieurs ????




drsi-prog1max
Administrateur



Messages: 762
Calculatrice : Graph 65
Message posté: 08-02-2012 à 22:19     Editer/Supprimer les messages postés   Renvoyer une note
1) oui.


2) l’appellation "sommet" se limite - dans le cadre des courbes - aux coniques (paraboles, hyperboles et ellipses). Donc, pour les polynômes, l'appellation sommet se limite aux polynômes de degré 2 (trinômes).
On ne peut donc pas dire qu'un polynôme de degré 3 a un sommet, donc encore moins calculer ses coordonnés !
Par contre, un polynôme de degré 3 peut avoir deux extrema locaux, à savoir un maximum local et un minimum local.
ON NE PEUT PAS APPLIQUER LES FORMULES DES POLYNÔMES DE DEGRÉS 2 AUX POLYNÔMES DE DEGRÉS 3.

Un polynôme de degré 3 est défini par :
∃(a,b,c,d) ∈ (R*×R×R×R), ∀x ∈ R, f(x) = ax³ + bx² + cx + d.
f∈C¹(R), f'(x) = 3ax² + 2bx + c.
Δ' = b²-3ac.

si Δ'≤0, f'(x) est toujours du signe de a, f n'a pas d'extrema locaux.

si Δ'>0, soient x1 = (-b-√Δ')/3a et x2 = (-b-√Δ')/3a.
f'(x) est du signe de a sur ]-∞, x1] et sur [x2, +∞[, et du signe de -a sur [x1, x2].
si a>0, f admet un maximum local en x1 et un minimum local en x2.
si a<0, f admet un minimum local en x1 et un maximum local en x2.


3) la courbe d'un polynôme de degré 3 possède aucun sommet.


PS : On n'est pas sur un forum de maths.



 
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